Единичная окружность

• Знания значений тригонометрических функций углов $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ и $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$ достаточно для того, чтобы определять значения тригонометрических функций всех табличных значений углов (рис. 1, 2).

• Пример. Найдите значения тригонометрических функций угла $\mathrm{\alpha }=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}.$

  Решение.

  $\frac{4\mathrm{\pi }}{3}=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{6}=\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{3}.$

  Угол находится в третьей четверти (рис. 3).

$\cos \frac{4\mathrm{\pi }}{3}=\cos \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=-\sin \frac{\mathrm{\pi }}{6} =-\frac{1}{2}$;

$\sin \frac{4\mathrm{\pi }}{3}=\sin \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=-\cos \frac{\mathrm{\pi }}{6} =-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$\mathrm{tg} \frac{4\mathrm{\pi }}{3}=\mathrm{tg} \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=\mathrm{ctg} \frac{\mathrm{\pi }}{6} =\sqrt{3};$

$\mathrm{c}\mathrm{tg} \frac{4\mathrm{\pi }}{3}=\mathrm{c}\mathrm{tg} \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=\mathrm{tg} \frac{\mathrm{\pi }}{6} =\frac{1}{\sqrt{3}}.$