Математика • 8 класс

Обратная теорема Виета

Теорема, обратная теореме Виета. Если числа $x_{1}$ и $x_{2}$ таковы, что ${x_{1} + x}_{2} = - p$ , ${x_{1} x}_{2} = q$ , то они являются корнями уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ .
Пример. Составьте уравнение, корнями которого являются числа $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 5$ .
Решение. По теореме, обратной теореме Виета, $- p {{= x}_{1} + x}_{2} = - 3$ , ${{q = x}_{1} x}_{2} = - 10$ . Значит, заданные числа являются корнями уравнения $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ .
Обратная теорема Виета позволяет находить корни квадратного уравнения по известным сумме и произведению корней.
Пример. Решите уравнение $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .
Решение.
$\{\begin{matrix} {x_{1} + x}_{2} = 7, \\ {x_{1} x}_{2} = 12; \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x_{1} = 4, \\ x_{2} = 3 . \end{matrix}$

Было полезно?